Persamaan Perbedaan vs Persamaan Diferensial
Fenomena alam dapat dijelaskan secara matematis dengan fungsi sejumlah variabel dan parameter independen. Apalagi jika diekspresikan dengan fungsi posisi spasial dan waktu menghasilkan persamaan. Fungsi tersebut dapat berubah dengan perubahan variabel independen atau parameter. Perubahan sangat kecil yang terjadi pada fungsi ketika salah satu variabelnya diubah disebut turunan dari fungsi itu.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi serta fungsi itu sendiri. Persamaan diferensial sederhana adalah Hukum Kedua Newton tentang Gerak. Jika sebuah benda bermassa m bergerak dengan percepatan 'a' dan bekerja dengan gaya F, maka Hukum Kedua Newton menyatakan bahwa F = ma. Di sini sekali lagi, 'a' bervariasi dengan waktu, kita dapat menulis ulang 'a' sebagai; a = dv / dt; v adalah kecepatan. Kecepatan merupakan fungsi dari ruang dan waktu, yaitu v = ds / dt; oleh karena itu 'a' = d 2 s / dt 2.
Dengan mengingat hal ini, kita dapat menulis ulang hukum kedua Newton sebagai persamaan diferensial;
'F' sebagai fungsi dari v dan t - F (v, t) = mdv / dt, atau
'F' sebagai fungsi dari s dan t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Ada dua jenis persamaan diferensial; persamaan diferensial biasa, disingkat ODE atau persamaan diferensial parsial, disingkat PDE. Persamaan diferensial biasa akan memiliki turunan biasa (turunan dari hanya satu variabel) di dalamnya. Persamaan diferensial parsial akan memiliki turunan diferensial (turunan lebih dari satu variabel) di dalamnya.
misalnya F = md 2 s / dt 2 adalah ODE, sedangkan α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt adalah PDE, ia memiliki turunan dari t dan x.
Persamaan beda sama dengan persamaan diferensial tetapi kita melihatnya dalam konteks yang berbeda. Dalam persamaan diferensial, variabel independen seperti waktu dianggap dalam konteks sistem waktu kontinu. Dalam sistem waktu diskrit, fungsi tersebut disebut sebagai persamaan selisih.
Persamaan selisih adalah fungsi selisih. Perbedaan variabel independen ada tiga jenis; urutan angka, sistem dinamik diskrit dan fungsi iterasi.
Dalam urutan angka, perubahan dihasilkan secara rekursif menggunakan aturan untuk menghubungkan setiap angka dalam urutan ke angka sebelumnya dalam urutan.
Persamaan selisih dalam sistem dinamik diskrit mengambil beberapa sinyal masukan diskrit dan menghasilkan sinyal keluaran.
Persamaan selisih adalah peta iterasi untuk fungsi iterasi. Misalnya, y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))),….adalah urutan fungsi iterasi. F (y 0) adalah iterasi pertama dari y 0. Iterasi ke-k akan dilambangkan dengan f k (y 0).
