Persamaan Diferensial Linear vs Nonlinier
Persamaan yang mengandung setidaknya satu koefisien diferensial atau turunan dari variabel yang tidak diketahui dikenal sebagai persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapat berupa linear atau non-linear. Cakupan artikel ini adalah untuk menjelaskan apa itu persamaan diferensial linier, apa itu persamaan diferensial nonlinier, dan apa perbedaan persamaan diferensial linier dan nonlinier.
Sejak kalkulus dikembangkan pada abad ke-18 oleh ahli matematika seperti Newton dan Leibnitz, persamaan diferensial telah memainkan peran penting dalam kisah matematika. Persamaan diferensial sangat penting dalam matematika karena jangkauan aplikasinya. Persamaan diferensial adalah inti dari setiap model yang kami kembangkan untuk menjelaskan skenario atau peristiwa apa pun di dunia apakah itu dalam fisika, teknik, kimia, statistik, analisis keuangan, atau biologi (daftarnya tidak ada habisnya). Faktanya, sampai kalkulus menjadi teori yang mapan, alat matematika yang tepat tidak tersedia untuk menganalisis masalah yang menarik di alam.
Persamaan yang dihasilkan dari aplikasi kalkulus tertentu mungkin sangat kompleks dan terkadang tidak dapat dipecahkan. Namun, ada beberapa yang bisa kami selesaikan, tetapi mungkin terlihat mirip dan membingungkan. Oleh karena itu, untuk memudahkan identifikasi persamaan diferensial dikategorikan berdasarkan perilaku matematisnya. Linear dan nonlinear adalah salah satu kategorisasi tersebut. Penting untuk mengidentifikasi perbedaan antara persamaan diferensial linier dan nonlinier.
Apa itu Persamaan Diferensial Linear?
Misalkan f: X → Y dan f (x) = y, persamaan diferensial tanpa suku nonlinier dari fungsi y yang tidak diketahui dan turunannya dikenal sebagai persamaan diferensial linier.
Ini memaksakan kondisi bahwa y tidak dapat memiliki suku indeks yang lebih tinggi seperti y 2, y 3,… dan kelipatan dari turunan seperti
Itu juga tidak dapat berisi istilah non linier seperti Sin y, e y ^ -2, atau ln y. Bentuknya,
dimana y dan g adalah fungsi dari x. Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial orde n, yang merupakan indeks turunan orde tertinggi.
Dalam persamaan diferensial linier, operator diferensial adalah operator linier dan solusinya membentuk ruang vektor. Sebagai hasil dari sifat linier dari himpunan solusi, kombinasi linier dari solusi juga merupakan solusi untuk persamaan diferensial. Artinya, jika y 1 dan y 2 adalah solusi dari persamaan diferensial, maka C 1 y 1 + C 2 y 2 juga merupakan solusi.
Linearitas persamaan hanyalah salah satu parameter klasifikasi, dan selanjutnya dapat dikategorikan menjadi persamaan diferensial homogen atau non-homogen dan biasa atau parsial. Jika fungsinya adalah g = 0 maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial homogen linier. Jika f adalah fungsi dari dua atau lebih variabel bebas (f: X, T → Y) dan f (x, t) = y, maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial parsial linier.
Metode penyelesaian untuk persamaan diferensial bergantung pada jenis dan koefisien persamaan diferensial. Kasus termudah muncul jika koefisiennya konstan. Contoh klasik untuk kasus ini adalah hukum gerak kedua Newton dan berbagai penerapannya. Hukum kedua Newton menghasilkan persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien konstan.
Apa itu Persamaan Diferensial Nonlinier?
Persamaan yang mengandung suku nonlinier dikenal sebagai persamaan diferensial non linier.
Semua di atas adalah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial nonlinier sulit untuk diselesaikan, oleh karena itu diperlukan studi yang cermat untuk mendapatkan penyelesaian yang tepat. Dalam kasus persamaan diferensial parsial, sebagian besar persamaan tidak memiliki solusi umum. Oleh karena itu, setiap persamaan harus diperlakukan secara independen.
Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamika fluida, persamaan medan relativitas umum Einstein dikenal sebagai persamaan diferensial parsial nonlinier. Terkadang penerapan persamaan Lagrange pada sistem variabel dapat menghasilkan sistem persamaan diferensial parsial nonlinier.
Apa perbedaan antara Persamaan Diferensial Linear dan Nonlinier?
• Persamaan diferensial, yang hanya memiliki suku-suku linier dari variabel yang tidak diketahui atau tergantung dan turunannya, dikenal sebagai persamaan diferensial linier. Ini tidak memiliki istilah dengan variabel dependen indeks lebih tinggi dari 1 dan tidak mengandung kelipatan turunannya. Itu tidak dapat memiliki fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik sehubungan dengan variabel dependen. Persamaan diferensial yang mengandung suku-suku yang disebutkan di atas adalah persamaan diferensial nonlinier.
• Solusi persamaan diferensial linier menciptakan ruang vektor dan operator diferensial juga adalah operator linier dalam ruang vektor.
• Solusi persamaan diferensial linier relatif lebih mudah dan solusi umum ada. Untuk persamaan nonlinier, dalam banyak kasus, solusi umum tidak ada dan solusinya mungkin spesifik masalah. Ini membuat penyelesaiannya jauh lebih sulit daripada persamaan linier.
