Asosiatif vs Komutatif
Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita harus menggunakan angka kapan pun kita perlu mengukur sesuatu. Di toko bahan makanan, di pompa bensin, dan bahkan di dapur, kita perlu menambah, mengurangi, dan mengalikan dua atau lebih jumlah. Dari latihan kami, kami melakukan perhitungan ini dengan cukup mudah. Kami tidak pernah memperhatikan atau mempertanyakan mengapa kami melakukan operasi ini dengan cara khusus ini. Atau mengapa perhitungan ini tidak dapat dilakukan dengan cara yang berbeda. Jawabannya tersembunyi dalam cara operasi ini didefinisikan dalam bidang matematika aljabar.
Dalam aljabar, operasi yang melibatkan dua besaran (seperti penjumlahan) didefinisikan sebagai operasi biner. Lebih tepatnya ini adalah operasi antara dua elemen dari sebuah himpunan dan elemen-elemen ini disebut 'operan'. Banyak operasi dalam matematika termasuk operasi aritmatika yang disebutkan sebelumnya dan yang ditemui dalam teori himpunan, aljabar linier, dan logika matematika dapat didefinisikan sebagai operasi biner.
Ada seperangkat aturan yang mengatur yang berkaitan dengan operasi biner tertentu. Properti asosiatif dan komutatif adalah dua properti dasar dari operasi biner.
Lebih lanjut tentang Properti Komutatif
Misalkan beberapa operasi biner, dilambangkan dengan simbol ⊗, dilakukan pada elemen A dan B. Jika urutan operand tidak mempengaruhi hasil operasi, maka operasi tersebut dikatakan komutatif. yaitu jika A ⊗ B = B ⊗ A maka operasinya bersifat komutatif.
Penjumlahan dan perkalian operasi aritmatika bersifat komutatif. Urutan bilangan yang dijumlahkan atau dikalikan tidak memengaruhi jawaban akhir:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Tetapi dalam kasus perubahan pembagian dalam urutan memberikan kebalikan dari yang lain, dan dalam pengurangan perubahan memberikan negatif dari yang lain. Karena itu, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 dan 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 dan 5 ÷ 4 = 1,25 [dalam hal ini A, B ≠ 1 dan 0]
Faktanya, pengurangan tersebut dikatakan anti-komutatif; dimana A - B = - (B - A).
Juga, penghubung logis, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan kesetaraan, juga bersifat komutatif. Fungsi kebenaran juga bersifat komutatif. Persatuan operasi himpunan dan persimpangan bersifat komutatif. Penjumlahan dan produk skalar dari vektor juga bersifat komutatif.
Tetapi pengurangan vektor dan hasil kali vektor tidak bersifat komutatif (hasil kali vektor dari dua vektor bersifat anti-komutatif). Penambahan matriks bersifat komutatif, tetapi perkalian dan pengurangannya tidak bersifat komutatif. (Perkalian dua matriks dapat bersifat komutatif dalam kasus-kasus khusus, seperti perkalian matriks dengan inversnya atau matriks identitas; tetapi yang pasti matriks tidak komutatif jika matriksnya tidak berukuran sama)
Lebih lanjut tentang Properti Asosiatif
Operasi biner dikatakan asosiatif jika urutan eksekusi tidak mempengaruhi hasil ketika dua atau lebih kejadian operator ada. Pertimbangkan elemen A, B dan C dan operasi biner ⊗. Operasi ⊗ dikatakan asosiatif jika
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Dari fungsi aritmatika dasar, hanya penjumlahan dan perkalian yang bersifat asosiatif.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Pengurangan dan pembagian tidak asosiatif;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 dan (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 dan (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Sambungan logis disjungsi, konjungsi, dan kesetaraan adalah asosiatif, seperti juga himpunan operasi dan perpotongan. Penambahan matriks dan vektor bersifat asosiatif. Produk skalar vektor bersifat asosiatif, tetapi hasil kali vektor tidak. Perkalian matriks bersifat asosiatif hanya dalam keadaan khusus.
Apa perbedaan antara Properti Komutatif dan Asosiatif?
• Baik properti asosiatif maupun properti komutatif adalah properti khusus dari operasi biner, dan beberapa memuaskan dan beberapa tidak.
• Properti ini dapat dilihat dalam berbagai bentuk operasi aljabar dan operasi biner lainnya dalam matematika, seperti perpotongan dan penyatuan dalam teori himpunan atau penghubung logis.
• Perbedaan antara komutatif dan asosiatif adalah properti komutatif menyatakan bahwa urutan elemen tidak mengubah hasil akhir sedangkan properti asosiatif menyatakan, bahwa urutan operasi dilakukan, tidak memengaruhi jawaban akhir.
