Perbedaan Antara Power Series Dan Taylor Series

2024 Pengarang: Mildred Bawerman | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-09 22:10

Seri Kekuatan vs Seri Taylor

Dalam matematika, urutan nyata adalah daftar bilangan real yang berurutan. Secara formal, ini adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Jika a _n adalah suku ^ke n dari suatu barisan, kita menyatakan barisan tersebut dengan atau dengan a ₁, a ₂,…, a _n, …. Sebagai contoh, perhatikan barisan 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, …. Ini dapat dilambangkan sebagai {1 / n}.

Dimungkinkan untuk menentukan rangkaian menggunakan urutan. Seri adalah jumlah suku-suku suatu barisan. Oleh karena itu, untuk setiap sekuens, ada sekuens yang terkait dan begitu pula sebaliknya. Jika {a _n} adalah urutan yang dipertimbangkan, maka rangkaian yang dibentuk oleh urutan tersebut dapat direpresentasikan sebagai:

Dengan demikian, dalam contoh di atas, seri terkait adalah 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Seperti namanya, deret pangkat adalah jenis deret khusus dan banyak digunakan dalam Analisis Numerik dan pemodelan matematika terkait. Deret Taylor adalah deret pangkat khusus yang menyediakan cara alternatif dan mudah dimanipulasi untuk merepresentasikan fungsi-fungsi terkenal.

Apa itu Power series?

Deret pangkat adalah deret bentuk

yang konvergen (mungkin) untuk beberapa interval yang berpusat di c. Koefisien a _n dapat berupa bilangan real atau kompleks, dan tidak bergantung pada x; yaitu variabel dummy.

Misalnya, dengan menetapkan a _n = 1 untuk setiap n, dan c = 0, deret pangkat 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… diperoleh. Sangat mudah untuk mengamati bahwa ketika x ε (-1,1), deret pangkat ini menyatu dengan 1 / (1-x).

Deret pangkat menyatu ketika x = c. Nilai lain dari x yang mana deret pangkat konvergen akan selalu berbentuk interval terbuka yang berpusat di c. Artinya, akan ada nilai 0≤ R ≤ ∞ sedemikian sehingga untuk setiap x memenuhi | xc | ≤ R, deret pangkat konvergen dan untuk setiap x memenuhi | xc |> R, deret pangkat divergen. Nilai R ini disebut radius konvergensi deret pangkat (R dapat mengambil nilai nyata atau tak terhingga positif).

Deret pangkat bisa ditambahkan, dikurangi, dikalikan dan dibagi menggunakan aturan berikut. Pertimbangkan dua deret pangkat:

Kemudian,

yaitu suku-suku sejenis ditambahkan atau dikurangkan. Juga, dimungkinkan untuk mengalikan dan membagi dua deret pangkat menggunakan identitas,

Apa itu seri Taylor?

Deret Taylor didefinisikan untuk fungsi f (x) yang dapat terdiferensiasi tanpa batas pada suatu interval. Asumsikan f (x) dapat diturunkan pada interval yang berpusat di c. Kemudian deret pangkat yang diberikan oleh

disebut ekspansi deret Taylor dari fungsi f (x) sekitar c. (Di sini f ⁽ⁿ⁾ (c) menunjukkan turunan ^ke- n pada x = c). Dalam Analisis Numerik, sejumlah suku berhingga dalam perluasan tak terbatas ini digunakan dalam menghitung nilai pada titik-titik di mana deret tersebut konvergen ke fungsi aslinya.

Sebuah fungsi f (x) dikatakan analitik dalam interval (a, b), jika untuk setiap x ε (a, b) deret Taylor dari f (x) konvergen ke fungsi f (x). Misalnya, 1 / (1-x) bersifat analitik pada (-1,1), karena ekspansi Taylor-nya 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… menyatu dengan fungsi pada interval tersebut, dan e ^x bersifat analitik di mana-mana, karena deret Taylor dari e ^x menyatu dengan e ^x untuk setiap bilangan real x.

Apa perbedaan antara Power series dan Taylor series?

1. Deret Taylor adalah kelas khusus deret pangkat yang didefinisikan hanya untuk fungsi-fungsi yang dapat dibedakan secara tak terhingga pada beberapa interval terbuka.

2. Deret Taylor mengambil bentuk khusus