Perbedaan Antara Integrasi Dan Penjumlahan

2024 Pengarang: Mildred Bawerman | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-16 08:39

Integrasi vs Penjumlahan

Dalam matematika sekolah menengah atas, integrasi dan penjumlahan sering ditemukan dalam operasi matematika. Mereka tampaknya digunakan sebagai alat yang berbeda dan dalam situasi yang berbeda, tetapi mereka memiliki hubungan yang sangat dekat.

Lebih lanjut tentang Penjumlahan

Penjumlahan adalah operasi penjumlahan urutan angka dan operasi tersebut sering dilambangkan dengan huruf Yunani dari kapital sigma Σ. Ini digunakan untuk menyingkat penjumlahan dan sama dengan jumlah / total urutan. Mereka sering digunakan untuk mewakili rangkaian, yang pada dasarnya adalah rangkaian tak terbatas yang diringkas. Mereka juga dapat digunakan untuk menunjukkan jumlah vektor, matriks, atau polinomial.

Penjumlahan biasanya dilakukan untuk rentang nilai yang dapat diwakili oleh istilah umum, seperti deret yang memiliki istilah umum. Titik awal dan titik akhir penjumlahan masing-masing dikenal sebagai batas bawah dan batas atas penjumlahan.

Sebagai contoh, jumlah deret a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n adalah a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n yang dapat dengan mudah direpresentasikan menggunakan notasi penjumlahan sebagai ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; saya disebut indeks penjumlahan.

Banyak variasi yang digunakan untuk penjumlahan berdasarkan aplikasi. Dalam beberapa kasus, batas atas dan batas bawah dapat diberikan sebagai interval atau rentang, seperti ∑ _1≤i≤100 a _i dan ∑ _{i∈ [1.100]} a _i. Atau dapat diberikan sebagai himpunan angka seperti ∑ _i∈P a _i, di mana P adalah himpunan yang ditentukan.

Dalam beberapa kasus, dua atau lebih tanda sigma dapat digunakan, tetapi dapat digeneralisasikan sebagai berikut; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Selain itu, penjumlahan mengikuti banyak aturan aljabar. Karena operasi tertanam adalah penjumlahan, banyak aturan umum aljabar dapat diterapkan pada penjumlahan itu sendiri dan untuk suku-suku individu yang digambarkan oleh penjumlahan.

Lebih lanjut tentang Integrasi

Integrasi didefinisikan sebagai proses kebalikan dari diferensiasi. Namun dalam tampilan geometrisnya, ia juga dapat dianggap sebagai area yang dikelilingi oleh kurva fungsi dan sumbu. Oleh karena itu, perhitungan luas memberikan nilai integral tertentu seperti yang ditunjukkan pada diagram.

Sumber Gambar:

Nilai integral pasti sebenarnya adalah jumlah dari strip kecil di dalam kurva dan sumbu. Luas setiap strip adalah tinggi × lebar pada titik pada sumbu yang dipertimbangkan. Lebar adalah nilai yang bisa kita pilih, katakanlah ∆x. Dan tinggi kira-kira nilai fungsi pada titik yang dipertimbangkan, katakanlah f (x _i). Dari diagram tersebut, terbukti bahwa semakin kecil strip semakin baik strip tersebut masuk ke dalam area yang dibatasi, sehingga perkiraan nilai yang lebih baik.

Jadi, secara umum integral pasti I, antara titik a dan b (yaitu dalam interval [a, b] di mana a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, di mana n adalah jumlah strip (n = (ba) / ∆x). Penjumlahan luas ini dapat dengan mudah direpresentasikan menggunakan notasi penjumlahan karena I ∑ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Karena aproksimasi lebih baik jika ∆x lebih kecil, kita dapat menghitung nilainya saat ∆x → 0. Oleh karena itu, masuk akal untuk mengatakan I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Sebagai generalisasi dari konsep di atas, kita dapat memilih ∆x berdasarkan interval yang terindeks i (memilih lebar area berdasarkan posisinya). Lalu kita dapatkan

Saya = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Ini dikenal sebagai Integral Reimann dari fungsi f (x) dalam interval [a, b]. Dalam hal ini a dan b dikenal sebagai batas atas dan batas bawah integral. Integral Reimann adalah bentuk dasar dari semua metode integrasi.

Intinya, integrasi adalah penjumlahan luas jika lebar persegi panjang sangat kecil.

Apa perbedaan antara Integration dan Summation?

• Penjumlahan adalah penjumlahan dari urutan angka. Biasanya, penjumlahan diberikan dalam bentuk ini ∑ ⁿ _{i = 1} a _i jika suku-suku dalam barisan memiliki pola dan dapat diekspresikan menggunakan suku umum.

• Integrasi pada dasarnya adalah area yang dibatasi oleh kurva fungsi, sumbu dan batas atas dan bawah. Area ini dapat diberikan sebagai jumlah dari area yang jauh lebih kecil yang termasuk dalam area terbatas.

• Penjumlahan melibatkan nilai diskrit dengan batas atas dan bawah, sedangkan integrasi melibatkan nilai kontinu.

• Integrasi dapat diartikan sebagai bentuk penjumlahan khusus.

• Dalam metode komputasi numerik, integrasi selalu dilakukan sebagai penjumlahan.