Perbedaan Antara Riemann Integral Dan Lebesgue Integral

2024 Pengarang: Mildred Bawerman | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-16 08:39

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasi adalah topik utama dalam kalkulus. Dalam pengertian broder, integrasi dapat dilihat sebagai proses kebalikan dari diferensiasi. Saat memodelkan masalah dunia nyata, mudah untuk menulis ekspresi yang melibatkan turunan. Dalam situasi seperti itu, operasi integrasi diperlukan untuk menemukan fungsi yang menghasilkan turunan tertentu.

Dari sudut lain, integrasi adalah sebuah proses yang menjumlahkan hasil kali fungsi ƒ (x) dan δx, di mana δx cenderung menjadi batas tertentu. Inilah mengapa, kami menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Sebenarnya, simbol ∫ adalah apa yang kita peroleh dengan meregangkan huruf s untuk merujuk pada jumlah.

Riemann Integral

Pertimbangkan fungsi y = ƒ (x). Integral y antara a dan b, di mana a dan b termasuk dalam himpunan x, dituliskan sebagai _b ∫ ^a ƒ (x) dx = [F (x)] _{a → b} = F (b) - F (a). Ini disebut integral pasti dari fungsi bernilai dan kontinu tunggal y = ƒ (x) antara a dan b. Ini memberikan area di bawah kurva antara a dan b. Ini juga disebut integral Riemann. Integral Riemann diciptakan oleh Bernhard Riemann. Integral Riemann dari fungsi kontinu didasarkan pada ukuran Jordan, oleh karena itu, ia juga didefinisikan sebagai batas jumlah fungsi Riemann. Untuk fungsi bernilai nyata yang ditentukan pada interval tertutup, integral Riemann dari fungsi tersebut terhadap partisi x ₁, x ₂,…, x _ndidefinisikan pada interval [a, b] dan t ₁, t ₂,…, t _n, di mana x _i ≤ t _i ≤ x _{i + 1} untuk setiap i ε {1, 2,…, n}, jumlah Riemann didefinisikan sebagai Σ _{i = o hingga n-1} ƒ (t _i) (x _{i + 1} - x _i).

Lebesgue Integral

Lebesgue adalah jenis integral lain, yang mencakup berbagai macam kasus daripada integral Riemann. Integral lebesgue diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue dapat dianggap sebagai generalisasi dari integrasi Riemann.

Mengapa kita perlu mempelajari integral lain?

Mari kita pertimbangkan fungsi karakteristik ƒ _{A (x) =} { _{0 jika, x bukan ε A} ^{1 jika, x ε A} pada himpunan A. Kemudian kombinasi linier hingga dari fungsi karakteristik, yang didefinisikan sebagai F (x) = Σ a _i ƒ E _i (x) disebut fungsi sederhana jika E _i dapat diukur untuk setiap i. Integral Lebesgue dari F (x) di atas E dilambangkan dengan _E ∫ ƒ (x) dx. Fungsi F (x) tidak dapat diintegrasikan Riemann. Oleh karena itu integral Lebesgue adalah menyusun ulang integral Riemann, yang memiliki beberapa batasan pada fungsi yang akan diintegrasikan.

Apa perbedaan antara Riemann Integral dan Lebesgue Integral?

· Integral Lebesgue adalah bentuk generalisasi dari integral Riemann.

· Integral Lebesgue memungkinkan tak terhingga dari diskontinuitas, sedangkan integral Riemann memungkinkan sejumlah diskontinuitas yang terbatas.