Derivatif vs Diferensial
Dalam kalkulus diferensial, turunan dan diferensial suatu fungsi terkait erat tetapi memiliki arti yang sangat berbeda, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematika penting yang terkait dengan fungsi yang dapat dibedakan.
Apa itu turunan?
Turunan dari suatu fungsi mengukur tingkat perubahan nilai fungsi saat inputnya berubah. Pada fungsi multi variabel, perubahan nilai fungsi bergantung pada arah perubahan nilai variabel independen. Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, arah tertentu dipilih dan fungsinya dibedakan ke arah tersebut. Turunan itu disebut turunan terarah. Derivatif parsial adalah jenis turunan terarah khusus.
Turunan dari fungsi bernilai vektor f dapat didefinisikan sebagai batas di
mana pun ia ada secara terbatas. Seperti disebutkan sebelumnya, ini memberi kita laju peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor u. Dalam kasus fungsi bernilai tunggal, ini mengurangi definisi turunan yang terkenal,
Misalnya,
dapat terdiferensiasi di mana-mana, dan turunannya sama dengan limitnya
yaitu sama dengan
. Turunan fungsi seperti
ada dimana-mana. Mereka masing-masing sama dengan fungsinya
Ini dikenal sebagai turunan pertama. Biasanya turunan pertama dari fungsi f dilambangkan dengan f (1). Sekarang dengan menggunakan notasi ini, dimungkinkan untuk mendefinisikan turunan orde tinggi.
adalah turunan arah orde dua, dan menunjukkan turunan ke- n dengan f (n) untuk setiap n
,, mendefinisikan turunan ke- n.
Apa perbedaan itu?
Diferensial suatu fungsi merupakan perubahan fungsi terhadap perubahan variabel bebas atau variabel. Dalam notasi biasa, untuk fungsi f dari variabel tunggal x, diferensial total orde 1 df diberikan oleh
,. Ini berarti bahwa untuk perubahan sangat kecil pada x (yaitu dx), akan ada perubahan f (1) (x) dx pada f.
Menggunakan batasan seseorang dapat berakhir dengan definisi ini sebagai berikut. Asumsikan ∆ x adalah perubahan x pada sembarang titik x dan ∆ f adalah perubahan yang sesuai pada fungsi f. Dapat ditunjukkan bahwa ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, di mana ϵ adalah errornya. Sekarang, limit ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (menggunakan definisi turunan yang dinyatakan sebelumnya) dan dengan demikian, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa, ∆ x → 0 ϵ = 0. Sekarang, menunjukkan ∆ x → 0 ∆ f sebagai df dan ∆ x → 0 ∆ x sebagai dx definisi diferensial diperoleh dengan teliti.
Misalnya, diferensiasi fungsinya
adalah
Dalam kasus fungsi dua variabel atau lebih, diferensial total suatu fungsi didefinisikan sebagai jumlah diferensial dalam arah masing-masing variabel independen. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai
Apa perbedaan antara Derivatif dan Diferensial?
• Derivatif mengacu pada tingkat perubahan suatu fungsi sedangkan diferensial mengacu pada perubahan fungsi yang sebenarnya, ketika variabel independen mengalami perubahan.
• Turunan diberikan oleh
tetapi diferensial diberikan oleh
