Kardinal vs Ordinal
Dalam kehidupan kita sehari-hari, penggunaan angka dapat mengambil bentuk yang berbeda dalam situasi yang berbeda. Misalnya, saat kita menghitung untuk mengetahui ukuran suatu kumpulan objek, kita menghitungnya sebagai satu, dua, tiga, dan seterusnya. Saat kita ingin menghitung sesuatu untuk mengetahui posisi objek, kita menghitungnya sebagai pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya. Dalam bentuk penghitungan pertama, bilangan dikatakan sebagai bilangan kardinal. Dalam bentuk penghitungan kedua, angka dianggap sebagai angka urut. Dalam konteks ini, konsep kardinal dan ordinal sepenuhnya merupakan masalah linguistik; kardinal dan ordinal adalah kata sifat.
Namun, perluasan konsep ke himpunan dalam matematika mengungkapkan perspektif yang jauh lebih dalam dan lebih luas dan tidak dapat diperlakukan secara sederhana. Pada artikel ini, kita akan mencoba memahami konsep dasar bilangan pokok dan bilangan ordinal dalam matematika.
Definisi formal bilangan kardinal dan ordinal disediakan dalam teori himpunan. Definisi tersebut rumit dan untuk memahaminya dalam arti yang sempurna membutuhkan latar belakang pengetahuan dalam teori himpunan. Oleh karena itu, kita akan melihat beberapa contoh, untuk memahami konsep secara heuristik.
Pertimbangkan dua set {1,3,6,4,5,2} dan {bus, car, ferry, train, aircraft, helicopter}. Setiap himpunan mendaftar sekumpulan elemen, dan jika kita menghitung jumlah elemennya ternyata masing-masing memiliki jumlah elemen yang sama, yaitu 6. Sampai pada kesimpulan ini kita telah mengambil ukuran dari satu himpunan dan membandingkannya dengan yang lain menggunakan a jumlah. Bilangan seperti itu disebut bilangan pokok. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa bilangan pokok adalah bilangan yang dapat kita gunakan untuk membandingkan ukuran himpunan berhingga.
Sekali lagi, rangkaian angka pertama dapat diatur dalam urutan menaik dengan mempertimbangkan ukuran setiap elemen dan membandingkannya. Dalam proses pemesanan, angka-angka tersebut dianggap sebagai kardinal. Demikian juga, himpunan semua bilangan bulat nonnegatif dapat diurutkan dalam satu himpunan; yaitu {0,1,2,3,4,…..}. Tetapi dalam kasus ini, ukuran himpunan menjadi tak terbatas, dan memberikannya dalam bentuk ordinal tidak mungkin. Tidak peduli seberapa besar angka yang Anda pilih untuk memberikan ukuran himpunan, tetap akan ada angka yang tersisa dari himpunan yang Anda pilih dan mana yang merupakan bilangan bulat nonnegatif.
Oleh karena itu, ahli matematika mendefinisikan kardinal tak hingga ini (yang pertama) sebagai Aleph-0, ditulis sebagai א (huruf pertama dalam alfabet Ibrani). Secara formal nomor urut adalah jenis urutan dari himpunan yang tertata rapi. Oleh karena itu, bilangan ordinal dari himpunan berhingga dapat diberikan dengan bilangan kardinal, tetapi untuk himpunan tak terhingga ordinal diberikan oleh bilangan transfinite seperti Aleph-0.
Apa perbedaan antara Cardinal dan Ordinal Numbers?
• Bilangan pokok adalah bilangan yang dapat digunakan untuk menghitung, atau untuk memberikan ukuran himpunan berurutan yang terbatas. Semua bilangan pokok adalah ordinal.
• Bilangan urut adalah bilangan yang digunakan untuk memberikan ukuran dari himpunan terurut hingga dan tak hingga. Ukuran himpunan terurut hingga diberikan oleh angka aljabar Hindu-Arab biasa, dan ukuran himpunan tak hingga diberikan oleh bilangan transfinite.
